Question

設函數f（x）=e^x（sinx-1）
（Ⅰ）求函數f（x）的單調增區間；
（Ⅱ）當x∈[-π，π]時，求函數的最大值和最小值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的概念及應用

分析：（Ⅰ）先求出函數的導數，令f′（x）＞0，從而求出函數f（x）的遞增區間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=e^x（sinx+cosx-1），從而求出f（x）的單調區間，進而求出函數的最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=e^x（sinx+cosx-1），
令f′（x）＞0，解得：2kπ＜x＜2kπ+

π

2

，（k∈Z），
∴f（x）在（2kπ，2kπ+

π

2

）遞增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=e^x（sinx+cosx-1），
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜

π

2

，
令f′（x）＜0，解得：-π＜x＜0，

π

2

＜x＜π，
∴f（x）在[-π，0），（

π

2

，π]遞減，在（0，

π

2

）遞增，
∴f（x）_極小值=f（0）=0，f（x）_極大值=f（

π

2

）=0，
又∵f（-π）=-e^π，f（π）=-e^π，
∴f（x）_最大值=f（

π

2

）=0，f（x）_最小值=f（π）=-e^π．

點評：本題考查了函數的單調性，函數的最值問題，考查導數的應用，是一道基礎題．