Question

設(shè)A，B為圓x²+y²=1上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)（A，O，B不共線）
（1）求證：

OA

+

OB

與

OA

-

OB

垂直．
（2）當(dāng)∠xOA=

π

4

，∠xOB=θ，θ∈(-

π

4

，

π

4

)且

OA

•

OB

=

3

5

時(shí)，求sinθ的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中A，B為圓x²+y²=1上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)（A，O，B不共線），可得|

OA

|=|

OB

|=1，進(jìn)而證得

OA

+

OB

與

OA

-

OB

的數(shù)量積為0，得到兩個(gè)向量垂直．
（2）由∠xOA=

π

4

，∠xOB=θ，θ∈(-

π

4

，

π

4

)，可得A，B坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)

OA

•

OB

=

3

5

，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角差的正弦公式，得到答案．

解答：（1）證明：∵A，B為圓x²+y²=1上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)
∴|

OA

|=|

OB

|=1，
又∵（

OA

+

OB

）•（

OA

-

OB

）
=

OA

2-

OB

2
=|

OA

|2-|

OB

|2
=1-1=0
∴

OA

+

OB

⊥

OA

-

OB

…（4分）
（2）解：∵∠xOA=

π

4

，∠xOB=θ，θ∈(-

π

4

，

π

4

)
∴A(cos

π

4

，sin

π

4

)，B(cosθ，sinθ)
∴

OA

•

OB

=cos

π

4

cosθ+sin

π

4

sinθ=sin(

π

4

+θ)=

3

5

…（8分）
∵θ∈(-

π

4

，

π

4

)
∴θ+

π

4

∈(0，

π

2

)
∴cos(θ+

π

4

)=

4

5

…（10分）
sinθ=sin(θ+

π

4

-

π

4

)=sin(θ+

π

4

)cos

π

4

-cos(θ+

π

4

)sin

π

4

=-

2

10

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用向量的數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，是向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度為中檔．