Question

【題目】已知函數f（x）＝lnx﹣ex﹣2，x＞0.

（1）求函數y＝f（x）的圖象在點x＝2處的切線方程；

（2）求證：f（x）＜0.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）求出，求出切線的斜率，切點坐標，然后求解切線方程.

（2）（方法一）作函數，求出，判斷函數的單調性，構造函數，，求出函數的最小值，然后推出結果.

（方法二）在定義域區間（0，+∞）單調遞減，求解函數的極大值，導函數的零點，然后轉化求解即可.

（1），，

f（2）＝ln2﹣1，，

所求切線方程為，即，

（2）（方法一）作函數，

（其他適宜函數如、也可），

g′（e）＝0；當0＜x＜e時，g′（x）＞0；當x＞e時，g′（x）＜0，

所以g（x）≤g（e）＝0，即，等號當且僅當x＝e時成立.

作函數，，

h′（1）＝0；當0＜x＜1時，g′（x）＜0；當x＞1時，g′（x）＞0，

所以h（x）≥h（1）＝0，即，等號當且僅當x＝1時成立.

因為e≠1，綜上所述，x＞0，lnx＜ex﹣2，即f（x）＜0.

（方法二）在定義域區間（0，+∞）單調遞減，

，所以，f′（x）有唯一零點x0，且x0是極大值點，

，由得，，lnx0＝2﹣x0，

代入得，，

因為1＜x0＜2，所以，f（x）≤f（x0）＜0.