Question

（2009•臨沂一模）如圖，在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=

1

2

AA₁，∠ACB=90°，G為BB₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面A₁CG⊥平面A₁GC₁；
（Ⅱ）求平面ABC與平面A₁GC所成銳二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）證明CG⊥平面A₁GC₁，利用面面垂直的判定定理，即可證明平面A₁CG⊥平面A₁GC₁；
（II）（法一）建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，求出平面ABC與平面A₁CG的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論；
（法二）延長(zhǎng)A₁G、AB相交于P，過(guò)A作AF⊥PC交PC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接A₁F，證明∠AFA₁為平行面ABC于平面A₁CG所成二面角的平面角，即可得出結(jié)論．

解答：（I）證明：在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，有A₁C₁⊥CC₁．
∵∠ACB=90°，∴A₁C₁⊥C₁B₁，即A₁C₁⊥平面C₁CBB₁，
∵CG?平面C₁CBB₁，∴A₁C₁⊥CG．┉┉┉┉┉┉┉┉（2分）
在矩形C₁CBB₁中，CC₁=BB₁=2BC，G為BB₁的中點(diǎn)，
CG=

2

BC，C₁G=

2

BC，CC₁=2BC
∴∠CGC₁=90，即CG⊥C₁G┉┉┉┉┉┉┉┉（4分）
而A₁C₁∩C₁G=C₁，
∴CG⊥平面A₁GC₁．
∴平面A₁CG⊥平面A₁GC₁．┉┉┉┉┉┉┉┉（6分）
（II）解：（法一）由于CC₁平面ABC，∠ACB=90°，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，設(shè)AC=BC=

1

2

CC=a，則A（a，0，0），B（0，a，0）A₁（a，0，2a），G（0，a，a）．
∴

CA

=（a，0，2a），

CG

=（0，a，a）．┉┉┉┉┉┉┉┉（8分）
設(shè)平面A₁CG的法向量n₁=（x₁，y₁，z₁），
由

CG •n1=0 CA1 •n1=0

得

ax1+2az1=0 ay1+az1=0

令z₁=1，n₁=（-2，-1，1）．┉┉┉┉┉┉┉┉（9分）
又平面ABC的法向量為n₂=（0，0，1）┉┉┉┉┉┉┉┉（10分）
設(shè)平面ABC與平面A₁CG所成銳二面角的平面角為θ，
則cosθ=|

n1•n2

|n1||n2|

|=

1

6

=

6

6

┉┉┉┉┉┉┉┉（11分）
即平面ABC與平面A₁CG所成銳二面角的平面角的余弦值為

6

6

．┉┉┉（12分）
（法二）延長(zhǎng)A₁G、AB相交于P，過(guò)A作AF⊥PC交PC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接A₁F
∵AA₁⊥平面ABC，AF⊥PC，∴A₁F⊥PF
∴∠AFA₁為平面ABC與平面A₁CG所成二面角的平面角．┉┉┉┉┉┉┉┉（8分）
由（I）知CG⊥A₁G，∴△PGC～△PFA₁，
設(shè)AC=BC=a，∴CG=

2

a，A1G=GP=

3

a，CP=

5

a
由

CG

A1F

=

CP

A1P

，
得A1F=

CG．A1P

CP

=

2 a•2 3 a

5

=

2 30 a

5

┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（10分）AF=

A1F2-A1A2

=

24 5 a2-4a2= 2 5 5

a．
∴cos∠AFA1=

AF

A1F

=

2 5 5 a

2 30 5 a

=

6

6

．┉┉┉┉┉（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直，考查面面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．