Question

（2012•寶雞模擬）設數列{a_n}的前項n和為S_n，點(n，

Sn

n

)(n∈N+)均在函數y=2x-1的圖象上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=

4

anan+1

，Tn是數列{b_n}的前n項和，求證：T_n＜1．

Answer 1

分析：（1）由題意可得s_n=2n²-n，利用n=1時a₁=s₁=1，n≥2時，a_n=s_n-s_n-1觀察是合為一式，還是分段表示；
（2）由（1）知a_n=4n-3，從而可利用裂項法求得b_n=

1

4n-3

-

1

4n+1

，繼而可求T_n=b₁+b₂+…+b_n的值，可證得T_n＜1．

解答：解：（1）由條件知

sn

n

=2n-1，即s_n=2n²-n．…（2分）
當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=（2n²-n）-[2（n-1）²-（n-1）]
=4n-3．…（4分）
又n=1時，a₁=s₁=1符合上式，
所以a_n=4n-3（n∈N₊）；…（6分）
證明：（2）b_n=

4

anan+1

=

4

(4n-3)(4n+1)

=（

1

4n-3

-

1

4n+1

）．…（8分）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=[（1-

1

5

）+（

1

5

-

1

9

）+（

1

9

-

1

13

）+…+（

1

4n-3

-

1

4n+1

）]
=（1-

1

4n+1

）．…（10分）
∵n∈N₊
∴-

1

4n+1

＜0，
∴1-

1

4n+1

＜1，即T_n＜1．…（12分）

點評：本題考查數列的遞推關系，考查等差數列的通項公式及數列的裂項法求和，求得a_n=4n-3是關鍵，屬于中檔題．