Question

(汕頭聯考模擬)如下圖，三棱柱中，⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，=3，D為AC的中點．

(1)求證：∥面；

(2)求二面角的余弦值；

(3)在側棱上是否存在點P，使得CP⊥面?并證明你的結論．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)證明：連接，與相交于O，連接OD． ∵是矩形，∴O是的中點．又D是AC的中點，∴．(2分) ∵，， ∴．　　　　　　　　　　　　　(4分) (2)如圖，建立空間直角坐標系，則 (0，0，0)，B(0，3，2)，C(0，3，0)，A(2，3，0)，D(1，3，0)．(5分) 設是面的一個法向量，則 取．　　　(6分) 易知是面ABC的一個法向量． ∴．　　　　　　(8分) ∴二面角的余弦值為．　　　　(9分) (3)假設側棱上存在一點P(2，y，0)(0≤y≤3)，使得CP⊥面． 則則∴ ∴方程組無解． ∴假設不成立．　　　　　　　　　　　(11分) ∴側棱上不存在點P，使CP⊥面．　　(12分)