【題目】已知函數
，
，
.
（1）求證:
；
（2）若
在
上恒成立，求
的最大值與
的最小值.
【答案】（1）答案見解析；（2）
最大值為
,
的最小值為1.
【解析】
（1）構建函數
，通過導數研究函數
在
單調性并計算最值，可得結果.
（2）構造函數
，通過分類討論的方法，
，
和
，利用導數判斷函數
的單調性，并計算最值比較，可得結果.
（1）由
所以
.
又
，
,
所以在區間上單調遞減.
從而
,
.
（2）當
時,
“
”等價于“
”
“
”等價于“
”.
令,則
,
當時,
對任意
恒成立.
當時,
因為對任意,
,
所以在區間上單調遞減.
從而
對任意恒成立.
當時,
存在唯一的
，使得
.
與
在區間
上的情況如下:
|
|
|
|
|
| 0 |
|
| ↗ | ↘ |
因為在區間
上是增函數,
所以
.
進一步,“對任意恒成立”
當且僅當
,即
,
綜上所述：
當且僅當
時,對任意恒成立;
當且僅當時,
對任意恒成立.
所以，若
對任意恒成立,
則最大值為,的最小值為1.
每課必練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校為了解高三年級不同性別的學生對體育課改上自習課的態度（肯定還是否定），進行了如下的調查研究.全年級共有
名學生，男女生人數之比為
，現按分層抽樣方法抽取若干名學生，每人被抽到的概率均為
．
（1）求抽取的男學生人數和女學生人數；
（2）通過對被抽取的學生的問卷調查，得到如下
列聯表：
否定 | 肯定 | 總計 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 30 | ||
總計 |
①完成列聯表；
②能否有
的把握認為態度與性別有關？
（3）若一班有
名男生被抽到，其中
人持否定態度，
人持肯定態度；二班有名女生被抽到，其中
人持否定態度，人持肯定態度．
現從這
人中隨機抽取一男一女進一步詢問所持態度的原因，求其中恰有一人持肯定態度一人持否定態度的概率．
解答時可參考下面臨界值表：
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
，其中e為自然對數的底數.
（1）當a＝0時，求函數f (x)的單調減區間；
（2）已知函數f (x)的導函數f (x)有三個零點x1，x2，x3(x1 x2 x3).①求a的取值范圍；②若m1，m2(m1 m2)是函數f (x)的兩個零點，證明：x1m1x1 1.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程
(t為參數)，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為：
．
Ⅰ
直線l的參數方程化為極坐標方程；
Ⅱ求直線l與曲線C交點的極坐標其中
，
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系中,曲線
的參數方程為
(
為參數).以坐標原點為極點,
軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線
的極坐標方程為
.
(1)寫出的普通方程及的直角坐標方程;
(2)設點
在上,點
在上,求
的最小值及此時點的直角坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于函數f（x），若f（x0）＝x0，則稱x0為f（x）的不動點.設f（x）＝x3+ax2+bx+3.
（1）當a＝0時，
（i）求f（x）的極值點；
（ⅱ）若存在x0既是f（x）的極值點，也是f（x）的不動點，求b的值；
（2）是否存在a，b，使得f（x）有兩個極值點，且這兩個極值點均為f（x）的不動點？說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖放置的邊長為1的正方形
沿
軸滾動（向右為順時針，向左為逆時針）．設頂點
的軌跡方程是
，則關于
的最小正周期
及
在其兩個相鄰零點間的圖像與x軸所圍區域的面積S的正確結論是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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