Question

已知f(x)=loga

x+1

x-1

（a＞0且a≠1）．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性，并證明；
（2）若a＞1，用單調性定義證明函數f（x）在區間（1，+∞）上單調遞減；
（3）是否存在實數a，使得f（x）的定義域為[m，n]時，值域為[1-log_an，1-log_am]，若存在，求出實數a的取值范圍；若不存在，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據對數函數的真數大于0建立不等式，解之即可求出函數的定義域，判定是否對稱，然后根據函數奇偶性的定義進行判定即可；
（2）任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，然后比較真數的大小，從而得到f（x₁）與f（x₂）的大小，最后根據單調性的定義進行判定即可；
（3）假設存在實數a滿足題目條件，然后根據函數在區間[m，n]上單調性建立等式關系，然后轉化成方程x²+（1-a）x+a=0在區間（1，+∞）上有兩個不同的實根，從而可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）由

x+1

x-1

＞0得：x＜-1或x＞1．
所以，函數f（x）的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞）．
又∵f(-x)=loga

-x+1

-x-1

=loga

x-1

x+1

=-loga

x+1

x-1

=-f(x)
∴f（x）為奇函數．
（2）任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0．
因為

x1+1

x1-1

-

x2+1

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0
所以

x1+1

x1-1

＞

x2+1

x2-1

，又因為a＞1，所以loga

x1+1

x1-1

＞loga

x2+1

x2-1

，
故f（x₁）＞f（x₂），所以，函數f（x）在區間（1，+∞）上單調遞減．
（3）假設存在實數a滿足題目條件．
由題意得：m＞0，n＞0，又∵[m，n]⊆（-∞，-1）∪（1，+∞），
∴1＜m＜n
又∵1-log_an＞1-log_am，
∴log_am＞log_an，解得a＞1．
由（2）得：函數f（x）在區間（1，+∞）上單調遞減．
所以，函數f（x）在區間[m，n]上單調遞減．
故，

f(m)=1-logam f(n)=1-logan

，所以

loga m+1 m-1 =loga a m loga n+1 n-1 =loga a n

，
所以

m2+(1-a)m+a=0 n2+(1-a)n+a=0

，∴m，n是方程x²+（1-a）x+a=0的兩個不同的實根．
故，方程x²+（1-a）x+a=0在區間（1，+∞）上有兩個不同的實根．
則

△=(1-a)2-4a＞0 - 1-a 2 ＞1 f(1)＞0

，解得：a＞3+2

2

．又∵a＞1，
所以，a＞3+2

2

所以，滿足題目條件的實數a存在，實數a的取值范圍是(3+2

2

，+∞)．

點評：本題主要考查了函數奇偶性的判定，以及單調性的判定和奇偶性與單調性的綜合應用，同時考查了轉化的思想，屬于中檔題．