Question

【題目】如圖，已知多面體的底面是邊長為2的菱形且，平面，，.

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）連結，交于點，設中點為，連結，，推導出，，且，從而四邊形是菱形，進而，平面，平面，由此能證明平面平面；（2）推導出是邊長為2的等邊三角形，設的中點為，連結，則，以為原點，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

（1）證明：連結，交于點，設中點為，連結，.

∵、分別為、的中點，∴，且，

∵，且，∴，且.

∴四邊形為平行四邊形，∴，即.

∵平面，平面，所以.

∵是菱形，所以.

∵，∴平面

∵，∴平面.

∵平面，

∴平面平面.

（2）∵，四邊形為菱形.故為2的等邊三角形.

設的中點為，連結，則.以為原點，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標系（如圖）.

則，，，，，，.設平面的法向量為，則即

令，則，所以

設平面的法向量為，則即

令，則所以.

設二面角的大小為，由于為鈍角，

所以