【題目】在四棱錐
中， 
， 
， 
， 
， 
是棱
的中點，且
.
（Ⅰ）求證： 
平面
；
（Ⅱ）若
為棱
上一點，滿足
，求二面角
的余弦值.
【答案】(1)見解析；（2）余弦值為
.
【解析】試題分析：（1）證明線面垂直，先找線線垂直， 
， 
，所以
，
以
，再由
得到線面垂直；（2）由空間向量坐標系的方法，得到兩個半平面的法向量，由向量的夾角公式得到二面角的余弦值.
解析：
（Ⅰ）取
中點
，連接
，
由已知
， 
，故
為平行四邊形.
所以
，因為
，故
.
又
，所以
，
，所以
.
由已知可求， 
，所以
，所以
.
又
，所以
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
，又
，
以點
為原點建立空間直角坐標系（如圖），可得
， 
， 
， 
.
由
為棱
的中點，得
.
向量
， 
， 
， 
.
由點
在棱
上，設
， 
.
故
.
由
，得
，
因此， 
，解得
.
即
.
設
為平面
的法向量，則
即
不妨令
，可得
為平面
的一個法向量.
取平面
的法向量
，
則
.
易知，二面角
是銳角，所以其余弦值為
.
培優三好生系列答案
優化作業上�？萍嘉墨I出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
已知曲線
的極坐標方程為
，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為
的正半軸，建立平面直角坐標系
.
（1）若曲線
為參數）與曲線
相交于兩點
，求
；
（2）若
是曲線
上的動點，且點
的直角坐標為
，求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某超市在2017年五一正式開業，開業期間舉行開業大酬賓活動，規定：一次購買總額在區間
內者可以參與一次抽獎，根據統計發現參與一次抽獎的顧客每次購買金額分布情況如下：
（1）求參與一次抽獎的顧客購買金額的平均數與中位數（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表，結果保留到整數）；
（2）若根據超市的經營規律，購買金額
與平均利潤
有以下四組數據：
試根據所給數據，建立
關于
的線性回歸方程
，并根據（1）中計算的結果估計超市對每位顧客所得的利潤.
參考公式： 
， 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地隨著經濟的發展，居民收入逐年增長.該地一建設銀行統計連續五年的儲蓄存款（年底余額）得到下表：
年份 |
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儲蓄存款 （千億元） |
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|
為便于計算，工作人員將上表的數據進行了處理（令
， 
），得到下表：
時間 |
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|
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|
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儲蓄存款 |
|
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|
|
|
（Ⅰ）求
關于
的線性回歸方程；
（Ⅱ）通過（Ⅰ）中的方程，求出
關于
的回歸方程；
（Ⅲ）用所求回歸方程預測到
年年底，該地儲蓄存款額可達多少？
附：線性回歸方程
，其中
， 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知長方體
，直線
與平面
所成角為
垂直
于點
為
的中點.
（1）求直線
與平面
所成角的正弦值；
（2）線段
上是否存在點
，使得二面角
的余弦值為
？若存在，確定
點位置；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程是
（
為參數），以該直角坐標系的原點
為極點， 
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
（1）寫出曲線
的普通方程和直線
的直角坐標方程；
（2）設點
，直線
與曲線
相交于
兩點，且
，求實數
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】有甲、乙兩個桔柚（球形水果）種植基地，已知所有采摘的桔柚的直徑都在
范圍內（單位：毫米，以下同），按規定直徑在
內為優質品，現從甲、乙兩基地所采摘的桔柚中各隨機抽取500個，測量這些桔柚的直徑，所得數據整理如下：
（1）根據以上統計數據完成下面
列聯表，并回答是否有
以上的把握認為“桔柚直徑與所在基地有關”？
（2）求優質品率較高的基地的500個桔柚直徑的樣本平均數
(同一組數據用該區間的中點值作代表)；
（3）記甲基地直徑在
范圍內的五個桔柚分別為
，現從中任取二個，求含桔柚
的概率.
附： 
， 
.
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