Question

【題目】已知函數，其中.

（1）若是函數的導函數的零點，求的單調區間；

（2）若不等式對恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）遞增區間為，單調遞減區間為；（2）

【解析】

（1）對函數f（x）求導數，利用x＝1是函數f（x）導函數的零點求出a的值，再判斷f（x）的單調性與單調區間；（2）求函數f（x）的導數，討論①a≤0時f′（x）＜0在x∈[1，+∞）上恒成立，得出f（x）≤f（1）＝0，符合題意；②a＞0時，f′（x）是x∈[1，+∞）上的單調減函數，利用f′（1）＝a﹣1，討論a≤1時，f（x）≤f（1）＝0，滿足題意；a＞1時，易知存在x0∈[1，+∞），使得f′（x0）＝0，且f（x0）＞f（1）＝0，不符合題意；由此求出a的取值范圍．

（1）函數，其中；∴，

又是函數的導函數的零點，∴，解得，

∴，∴，且在上是單調減函數，，

∴時，，單調遞增；時，，單調遞減；

所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為；

（2），；

①時，在上恒成立，

則是單調遞減函數，且，∴恒成立，符合題意；

②當時，是上的單調減函數，且；

若，即，則在上單調遞減，且，滿足題意；

若，即，則易知存在，使得，

∴在單調遞增，在單調遞減，

∴時，存在，則不恒成立，不符合題意；

綜上可知，實數的取值范圍是．