Question

【題目】已知函數，，為的導函數．

（1）若，求的值；

（2）討論的單調性；

（3）若恰有一個零點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）或

【解析】

（1）利用列方程，解方程求得的值.

（2）求得函數的導函數，對分成等四種情況，分類討論的單調區間.

（3）結合（1）求得的的單調區間，判斷出的單調區間，結合的取值范圍、零點的存在性定理進行分類討論，由此求得的取值范圍.

（1）

由，得，得；

（2）

①當時，令，得，令，得，

所以在上單調遞增，在上單調遞減；

②當時，令，得，，

i）當時，，所以在上單調遞增；

ii）當時，令，得或；令，得，

所以在和單調遞增，在單調遞減；

iii）當時，令，得或；令，得，

所以在和單調遞增，在單調遞減；

綜上：①當時，在上單調遞增；在單調遞減；

②i）當時，在上單調遞增；

ii）當時，在和單調遞增，在單調遞減；

iii）當時，在和單調遞增，在單調遞減；

（3）①當時，由（2）知，在單調遞增，在單調遞減，所以在單調遞增，在單調遞減，又因為，所以恰有一個零點，符合題意；

②i）當時，在單調遞增，所以在單調遞增，又，所以在恰有一個零點，符合題意；

ii）當時，在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，

所以在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，

因為 ，所以是函數的一個零點，且，

當時，取且，

則，

所以，所以在恰有一個零點，

所以在區間有兩個零點，不合題意；

iii）當時，在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，所以在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，

又因為，所以是函數的一個零點，且，

又因為，所以，

所以在區間有兩個零點，不合題意；

綜上的取值范圍為或.