Question

某人射擊一次擊中目標的概率是

2

3

，假設每次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響．若此人射擊3次，得分有如下規定：
（1）若有且僅有1次擊中目標，則得1分；
（2）若恰好擊中目標兩次時，如果這兩次為連續擊中，則得3分，若不是連續擊中則得2分；
（3）若恰好3次擊中目標，則得4分；
（4）若未擊中目標則不得分．記三次射擊后此人得分為X分，求得分X的分布列及其數學期望E（X）．

Answer 1

分析：射擊三次后的得分X的可能取值為X=0，1，2，3，4.P(X=0)=(

1

3

)3=

1

27

，P(X=1)=

C

1 3

×

2

3

×(

1

3

)2=

2

9

，P(X=2)=

2

3

×

1

3

×

2

3

=

4

27

，P(X=3)=

2

3

×

2

3

×

1

3

+

1

3

×

2

3

×

2

3

=

8

27

，P(X=4)=(

2

3

)3=

8

27

．由此能求出隨機變量X的分布列和數學期望．

解答：解：由題意知，射擊三次后的得分X的可能取值為X=0，1，2，3，4．
P(X=0)=(

1

3

)3=

1

27

，
P(X=1)=

C

1 3

×

2

3

×(

1

3

)2=

2

9

，
P(X=2)=

2

3

×

1

3

×

2

3

=

4

27

，
P(X=3)=

2

3

×

2

3

×

1

3

+

1

3

×

2

3

×

2

3

=

8

27

，
P(X=4)=(

2

3

)3=

8

27

．--（5分）
所以，隨機變量X的分布列為

X	0	1	2	3	4
P	1 27	2 9	4 27	8 27	8 27

--------------（8分）
∴E（X）=0×

1

27

+1×

2

9

+2×

4

27

+3×

8

27

+4×

8

27

=

70

27

．----（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的數學期望和方差，解題時要認真審題，仔細解答，注意概率性質和排列組合的靈活運用．