Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=sin2x-cos2x有下列命題：
①函數(shù)y=f（x）的最小正周期為π；
②直線x=

π

4

是y=f（x）的一條對(duì)稱軸；
③點(diǎn)(

π

8

，0)是y=f（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心；
④將y=f（x）的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位，可得到y=

2

sin2x的圖象．
其中真命題的序號(hào)是（　　）

A．①③

B．①④

C．①③④

D．②③④

Answer 1

分析：將三角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷．

解答：解：①∵f（x）=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)，∴周期T=

2π

2

=π，∴①正確．
②當(dāng)x=

π

4

時(shí)，f(

π

4

)=

2

sin(2×

π

4

-

π

4

)=

2

sin

π

4

=

2

×

2

2

=2，不是最大值，∴②錯(cuò)誤．
③當(dāng)x=

π

8

時(shí)，f(

π

8

)=

2

sin(2×

π

8

-

π

4

)=

2

sin(

π

4

-

π

6

)=

2

sin0=0，∴點(diǎn)(

π

8

，0)是y=f（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，∴③正確．
④將y=f（x）的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位，得到y=

2

sin[2(x+

π

4

)-

π

4

]=

2

sin(2x-

π

4

)，∴④錯(cuò)誤．
故真命題為①③．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的周期，對(duì)稱和奇偶性進(jìn)行分別判斷，要求熟練掌握三角函數(shù)的這些性質(zhì)．