Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD中，底面為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=BC=1，AB=2，M為PC中點．
（Ⅰ）在圖中作出平面ADM與PB的交點N，并指出點N所在位置（不要求給出理由）；
（Ⅱ）在線段CD上是否存在一點E，使得直線AE與平面ADM所成角的正弦值為 ，若存在，請說明點E的位置；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）求二面角A﹣MD﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）過M作MN∥BC，交PB于點N，連接AN，如圖，
則點N為平面ADM與PB的交點N（在圖中畫出）
由M為PC中點，得N為PB的中點．
（Ⅱ）因為四棱錐P﹣ABCD中，底面為矩形，PA⊥底面ABCD，
以A為坐標原點，以直線AB，AD，AP所在直線建立空間直角坐標系如圖所示：
則A（0，0，0），P（0，0，1），D（0，1，0），C（2，1，0），M（1， ），
設在線段CD上存在一點E（x，1，0），則
設直線AE與平面AMD所成角為θ，平面AMD的法向量為 ，
則 ，即 ，令z=2，則 ，
因為直線AE與平面ADM所成角的正弦值為 ，
所以 ，所以x=1
所以在線段CD上存在中點E，
使得直線AE與平面AMD所成角的正弦值為
（Ⅲ）設平面CMD的法向量 ，
則 ，即 ，令z′=﹣1，則y′=﹣1，
所以
所以 ，
由圖形知二面角A﹣MD﹣C的平面角是鈍角，
所以二面角A﹣MD﹣C的平面角的余弦值為

【解析】（Ⅰ）過M作MN∥BC，交PB于點N，由此求出結果．（Ⅱ）以A為坐標原點，以直線AB，AD，AP所在直線建立空間直角坐標系，利用向量法能求出在線段CD上存在中點E，使得直線AE與平面AMD所成角的正弦值為 ．（Ⅲ）求出平面CMD的法向量和平面AMD的法向量，由此利用向量法能求出二面角A﹣MD﹣C的平面角的余弦值．
【考點精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．