Question

設雙曲線

x2

4

-y²=1的右頂點為A，P是雙曲線上異于頂點的一個動點，從A引雙曲線的兩條漸近線的平行線與直線OP （O為坐標原點）分別交于Q和R兩點．
（1）證明：無論P點在什么位置，總有|

OP

|²=|

OQ

•

OR

|；
（2）設動點C滿足條件：

AC

=

1

2

（

AQ

+

AR

），求點C的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）設OP：y=kx與AR：y=

1

2

(x-2)聯立，解得

OR

=(

2

1-2k

， 

2k

1-2k

)，同理可得

QR

=(

2

1+2k

，

2k

1+2k

)，所以|

OQ

•

OR

|=

4+4k2

|1-4k2|

，由此知|

OP

|²=m2+n2=

4+4k2

1-4k2

=|

OQ

•

OR

|．
（2）由

AC

=

1

2

（

AQ

+

AR

），知點C為QR的中點，設C（x，y），有

x= 2 1-4k2  y= 2k 1-4k2

，消去k，可得所求軌跡方程．

解答：解：（1）設OP：y=kx與AR：y=

1

2

(x-2)聯立，解得

OR

=(

2

1-2k

， 

2k

1-2k

)，（2分）
同理可得

QR

=(

2

1+2k

，

2k

1+2k

)，所以|

OQ

•

OR

|=

4+4k2

|1-4k2|

，（2分）
設

OP

=（m，n），則由雙曲線方程與OP方程聯立解得m2=

4

1-4k2

，  n2=

4k2

1-4k2

，（2分）
所以|

OP

|²=m2+n2=

4+4k2

1-4k2

=|

OQ

•

OR

|（點在雙曲線上，1-4k²＞0）；（2分）
（2）∵

AC

=

1

2

（

AQ

+

AR

），
∴點C為QR的中點，設C（x，y），
則有

x= 2 1-4k2  y= 2k 1-4k2

，消去k，可得所求軌跡方程為x²-2x-4y²=0（x≠0）．（6分）

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．