Question

拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的交點在其準線上．設拋物線y²=2px（p＞0），弦AB過焦點，△ABQ為其阿基米德三角形，則△ABQ的面積的最小值為（　　）

A． p2 2

B．p2

C．2p2

D．4p2

Answer 1

法一：取傾斜角為：45⁰，60⁰，90⁰，經計算可知，當傾斜角為90⁰時，△ABQ的面積的最小，此時AB=2p，又焦點到準線的距離d=

p

2

-(-

p

2

)=p，此時三角形的面積最小為p²故選B．
法二：由于若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的交點在其準線上，且△PAB為直角三角型，且角P為直角．S=

1

2

PA•PB≤

AB2

4

，由于AB是通徑時，AB最小，故選B．