Question

（本題16分） 設函數，且，其中是自然對數的底數.（1）求與的關系；（2）若在其定義域內為單調函數，求的取值范圍；

（3）設，若在上至少存在一點，使得＞成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

(1)   (Ⅱ) （3）.

解析:

解：（1）由題意得 

  而，所以、的關系為          …………3分

（2）由（1）知，

令，要使在其定義域內是單調函數，只需在內滿足：恒成立.                                   …    5分

①當時，，因為＞，所以＜0，＜0，

 ∴在內是單調遞減函數，即適合題意；

②當＞0時，其圖像為開口向上的拋物線，對稱軸為，∴，只需，即，∴在內為單調遞增函數，故適合題意. 

 ③當＜0時，，其圖像為開口向下的拋物線，對稱軸為，只要，即時，在恒成立，故＜0適合題意.綜上所述，的取值范圍為                                 9分

（3）∵在上是減函數， ∴時，；時，，即，①當時，由（2）知在上遞減＜2，不合題意； 

  ②當0＜＜1時，由，又由（2）知當時，在上是增函數，

 ∴＜，不合題意；                                  

③當時，由（2）知在上是增函數，＜2，又在上是減函數，故只需＞， ，而，

， 即  ＞2，解得＞ ，                 15分

綜上，的取值范圍是.  ……16分

點評：本題綜合考查函數性質、導數運用、分類討論、不等式、二次函數，難題