Question

曲線C上任一點到點E（-4，0），F（4，0）的距離的和為12，C與x軸的負半軸、正半軸依次交于A、B兩點，點P在C上，且位于x軸上方，PA⊥PF．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）求點P的坐標．

Answer 1

分析：（I）設G是曲線C上任意一點，依題意，|GE|+|GF|=12．a=6，c=4，b=

20

，由此可知所求的橢圓方程．
（II）由已知A（-6，0），F（4，0），設點P的坐標為（x，y），則

AP

=（x+6，y），

FP

=（x-4，y）由已知結合向量的數量積為0，由此可推導出點P的坐標．

解答：解：（I）設G是曲線C上任意一點，依題意，|GE|+|GF|=12．
所以曲線C是以E、F為焦點的橢圓，且橢圓的長半袖a=6，半焦距c=4，
所以短半軸b=

62-42

=

20

，
所以所求的橢圓方程為

x2

36

+

y2

20

=1；
（II）設點P的坐標為（x，y）
則

AP

=（x+6，y），

FP

=（x-4，y），由已知得 

x2 36 + y2 20 =1 (x+6)(x-4)+y2=0

則 2x²+9x-18=0，解之得x=-6或x=

3

2

當x=-6時，y=0，與y＞0矛盾，舍去；
當x=

3

2

時，y2=

75

4

，取y=

5 3

2

（舍負）
∴P(

3

2

，

5 3

2

)．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．