Question

曲線C上任一點(diǎn)到點(diǎn)E（-4，0），F(xiàn)（4，0）的距離的和為12，C與x軸的負(fù)半軸、正半軸依次交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在曲線C上且位于x軸上方，滿足

PA

•

PF

=0．
（1）求曲線C的方程；
（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）以曲線C的中心O為圓心，AB為直徑作圓O，是否存在過(guò)點(diǎn)P的直線l使其被圓O所截的弦MN長(zhǎng)為3

15

，若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意知曲線C為橢圓且a=6，c=4得b²=20，由此能求出曲線C的方程．
（2）設(shè)P（x₀，y₀）又A（-6，0），F(xiàn)（4，0）且

PA

•

PF

=0，代入坐標(biāo)得x₀²+2x₀+y₀²-24=0，P在橢圓上故

x 2 0

36

+

y 2 0

20

=1，由P在x軸的上方得x0=

3

2

，y0=

5

2

3

，由此得到P點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）假設(shè)存在滿足題意的直線l，若直線l得斜率不存在，則l：x=

3

2

；若直線l得斜率存在，設(shè)l：y-

5

2

3

=k(x-

3

2

)，圓心到直線的距離d=

|3k-5 3 |

4k2+4

由題意知應(yīng)有d=

3

2

，所以

|3k-5 3 |

4k2+4

=

3

2

得k=

11

15

3

，l：11x-5

3

y+21=0．

解答：解（1）由題意知曲線C為橢圓且a=6，c=4得b²=20
故曲線C的方程為

x2

36

+

y2

20

=1
（2）設(shè)P（x₀，y₀）又A（-6，0），F(xiàn)（4，0）且

PA

•

PF

=0
代入坐標(biāo)得x₀²+2x₀+y₀²-24=0①
又P在橢圓上故

x 2 0

36

+

y 2 0

20

=1②
由①②并P在x軸的上方得x0=

3

2

，y0=

5

2

3

所以P(

3

2

，

5

2

3

)
（3）假設(shè)存在滿足題意的直線l1⁰若直線l得斜率不存在，則l：x=

3

2

易得|MN|=3

15

，故滿足題意．（9分）2⁰若直線l得斜率存在，設(shè)l：y-

5

2

3

=k(x-

3

2

)
即2kx-2y-3k+5

3

=0
又圓心到直線的距離d=

|3k-5 3 |

4k2+4

由題意知應(yīng)有d=

3

2

所以

|3k-5 3 |

4k2+4

=

3

2

得k=

11

15

3

則l：11x-5

3

y+21=0
綜上得存在滿足題意的直線：l：x=

3

2

或11x-5

3

y+21=0

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線方程的求法、求點(diǎn)P的坐標(biāo)和判斷直線方程是否存在，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．本題計(jì)算量較大，比較繁瑣，解題時(shí)要細(xì)心運(yùn)算，避免出錯(cuò)．