Question

體積為1的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=1，求直線AB₁與平面BCC₁B₁所成角．

Answer 1

分析：根據體積先求出AA₁=CC₁的長，連接BC₁，易證∠A₁BC₁是直線A₁B與平面BB₁C₁C所成的角，在直角三角形A₁BC₁中求出此角即可．

解答：解：由題意，可得體積V=CC1•S△ABC=CC1•

1

2

•AC•BC=

1

2

CC1=1，
∴AA₁=CC₁=2．
連接BC₁．
∵A₁C₁⊥B₁C₁，A₁C₁⊥CC₁，
∴A₁C₁⊥平面BB₁C₁C，
∴∠A₁BC₁是直線A₁B與平面BB₁C₁C所成的角．BC1=

CC12+BC2

=

5

，
∴tan∠A1BC1=

A1C1

BC1

=

1

5

，
則∠A₁BC₁=arctan

5

5

；
即直線A₁B與平面BB₁C₁C所成角的大小為arctan

5

5

．

點評：本題主要考查了直線與平面之間的位置關系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．