Question

如圖1，△ABC的三邊長分別為AC=6、AB=8、BC=10，O′為其內心；取O′A、O′B、O′C的中點A′、B′、C′，并按虛線剪拼成一個直三棱柱ABC-A′B′C′（如圖2），上下底面的內心分別為O′與O；
（Ⅰ）求直三棱柱ABC-A′B′C′的體積；
（Ⅱ）直三棱柱ABC-A′B′C′中，設線段OO'與平面AB′C交于點P，求二面角B-AP-C的余弦值．

Answer 1

分析：（I）根據△ABC的三邊的平方關系，得△ABC為直角三角形，算出其內切圓半徑r=2，從而得到直三棱柱ABC-A′B′C′的底面三角形的形狀和高AA'的長，結合柱體體積公式即可算出直三棱柱ABC-A′B′C′的體積；
（II）以A為原點，AB、AC、AA'為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，可得向量

AB′

、

AP

坐標，利用垂直向量數量積為零的方法建立方程組，解出

m

=(1，0，-4)是平面AB'C的一個法向量；同樣的方法算出

n

=(0，1，-4)是平面ABP的一個法向量，利用空間向量的夾角公式算出cos＜

m

，

n

＞=

16

17

，結合圖形加以觀察即可得到二面角B-AP-C的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）根據題意，可得△ABC為直角三角形，
∵△ABC的內切圓半徑r=

6+8-10

2

=2，-----（1分）
∴直三棱柱ABC-A'B'C'的高等于

1

2

r=1，-----------------------------（2分）
∵△A'B'C'是兩條直角邊分別為3、4的直角三角形，
∴直三棱柱ABC-A′B′C′的體積V=(

1

2

×3×4)×1=6；-----------（5分）
（Ⅱ）如圖，以A為原點，AB、AC、AA'為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
則

AB′

=(4，0，1)，

AC

=(0，3，0)，
設平面AB'C的法向量

m

=(x，y，z)，
則

AB′ • m =4x+z=0 AC • m =3y=0

，取x=1，得y=0，z=-4，所以

m

=(1，0，-4)--------------------（7分）
再設

AP

=(1，1，z0)，由

AP

•

m

=0算出z0=

1

4

，可得

AP

=(1，1，

1

4

)；-------------（10分）
而

AB

=(4，0，0)，設平面ABP的法向量

n

=(x′，y′，z′)，
則

AB′ • n =4x′=0 AP • n =x′+y′+ 1 4 z′=0

，取y'=1，可得

n

=(0，1，-4)；-------------------------------（12分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

1×0+0×1+(-4)×(-4)

17 × 17

=

16

17

，
再根據圖形，得二面角B-AP-C為鈍角，即二面角B-AP-C的平面角與＜

m

，

n

＞互為補角
因此，二面角B-AP-C的余弦值等于-

16

17

．------------------------------------（14分）

點評：本題給出直角三角形的折疊問題，求折成的三棱柱的體積并求二面角的余弦值，著重考查了直角三角形內切圓的性質、柱體體積的求法和利用空間向量求二面角大小等知識，屬于中檔題．