Question

已知a，b∈R⁺，下列不等式：①a+b+

1

ab

≥2

2

，②(a+b)(

1

a

+

1

b

)≥4，③

a2+b2

ab

≥a+b，④

2ab

a+b

≥

ab

，其中一定恒成立的是

①②③

（填寫序號(hào)）．

Answer 1

分析：利用a+b≥2

ab

證明①正確；把左邊展開后再用基本不等式進(jìn)行證明②正確；利用平方后作差、變形和判斷符號(hào)證明③正確；把a(bǔ)+b≥2

ab

取倒數(shù)后，再兩邊同乘以2ab證明出④不正確．

解答：解：由于a，b∈R⁺，則
①、∵a+b≥2

ab

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，∴2

ab

+

1

ab

≥2

2

成立，故①正確；
②、(a+b)(

1

a

+

1

b

)=2+

b

a

+

a

b

≥4，當(dāng)且僅當(dāng)

b

a

=

a

b

時(shí)取等號(hào)，故②正確；
③、∵(

a2+b2

ab

)2-(a+b)2=

1

ab

[a⁴+b⁴+2a²b²-ab（a+b）²]
=

1

ab

(a4+b4-a3b-ab3)=

1

ab

[a3(a-b) +b3(b-a)]=

1

ab

[ (a-b)2(a2+ab+b2) ]
=

1

ab

(a-b)2[(a+

b

2

)2+

3b2

4

) ]≥0，∴

a2+b2

ab

≥a+b，故③正確；
④、∵a+b≥2

ab

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，∴

2ab

a+b

≤

2ab

2 ab

=

ab

，故④不對(duì)；
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式的應(yīng)用，結(jié)合做差法以及兩邊平方后再作差，后不等式取倒數(shù)等進(jìn)行證明，注意：“一正、二定、三相等”的說明．