Question

（1）已知矩陣M=

2a 21

，其中a∈R，若點(diǎn)P（1，-2）在矩陣M的變換下得到點(diǎn)P'（-4，0）
（i）求實(shí)數(shù)a的值；
（ii）求矩陣M的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量．
（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)圓x²+y²-8xcosθ-6ysinθ+7cos²θ+8=0（a∈R）的圓心為P（x₀，y₀），求2x₀-y₀的取值范圍．
（3）已知a，b，c為實(shí)數(shù)，且a+b+c+2-2m=0，a²+

1

4

b2+

1

9

c2+m-1=0．
①求證：a²+

1

4

b2+

1

9

c2≥

(a+b+c)2

14

；
②求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）（i）點(diǎn)P（1，-2）在矩陣M的變換下得到點(diǎn)P'（-4，0），利用二階矩陣與平面列向量的乘法可求實(shí)數(shù)a的值；
（ii）先求矩陣M的特征多項(xiàng)式f（λ），令f（λ）=0，從而可得矩陣M的特征值，進(jìn)而可求特征向量．
（2）先將圓的一般式方程轉(zhuǎn)化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求出圓心的參數(shù)方程，利用參數(shù)方程將2x+y表示成8cosθ-3sinθ，然后利用輔助角公式求出8cosθ-3sinθ的取值范圍即可；
（3）①根據(jù)柯西不等式直接證明即可；
②將①中的a、b、c用等式a+b+c+2-2m=0，a²+

1

4

b2+

1

9

c2+m-1=0．代入，消去a、b、c得到關(guān)于m的不等關(guān)系，解之即可求出m的范圍．

解答：解：（1）（i）由

2 a 2 1

1 -2

=

-4 0

，∴2-2a=-4⇒a=3．
（ii）由（i）知M=

2 3 2 1

，則矩陣M的特征多項(xiàng)式為
f（λ）=

λ-2 3 2 λ-1

=（λ-2）（λ-1）-6=λ²-3λ-4
令f（λ）=0，得矩陣M的特征值為-1與4．
當(dāng)λ=-1時(shí)，

(λ-2)x-3y=0 -2x+(λ-1)y=0

⇒x+y=0
∴矩陣M的屬于特征值-1的一個(gè)特征向量為

1 -1

；
當(dāng)λ=4時(shí)，

(λ-2)x-3y=0 -2x+(λ-1)y=0

⇒2x-3y=0
∴矩陣M的屬于特征值4的一個(gè)特征向量為

3 2

．
（2）將圓的方程整理得：（x-4cosθ）²+（y-3sinθ）²=1
由題設(shè)得 x₀=4cosθ，y₀=3sinθ（θ為參數(shù)，θ∈R）．
所以2x₀-y₀=8cosθ-3sinθ=

73

cos（θ+φ），
所以-

73

≤2x₀-y₀≤

73

．
（3）：①根據(jù)柯西不等式可得（a²+

b2

4

+

c2

9

）（1+2²+3²）≥（a×1+

b

2

×2+

c

3

×3）²=（a+b+c）²
∴a2+

1

4

b2+

1

9

c2≥

(a+b+c)2

14

．
②∵a+b+c+2-2m=0，a²+

b2

4

+

c2

9

+m-1=0
∴1-m≥

(2m-2)2

14

解得：-

5

2

≤m≤1．

點(diǎn)評(píng)：（1）本小題主要考查二階矩陣與平面列向量的乘法，考查矩陣M的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量． 關(guān)鍵是寫出特征多項(xiàng)式，從而求得特征值．
（2）本題主要考查了圓的方程，以及三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題和輔助角公式的應(yīng)用，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．（3）本題主要考查來了逆矩陣與投影變換，以及圓的參數(shù)方程和直線的參數(shù)方程，以及不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，是一道綜合題，屬于中檔題．