Question

【題目】已知函數為偶函數．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求的值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若函數在上只有一個零點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1 （Ⅱ）2 （Ⅲ）或.

【解析】

（Ⅰ）由題意x∈R時f（﹣x）＝f（x），列出方程求解b＝1即可；

（Ⅱ）求出f（1），通過，求解a；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下條件轉化為在R上只有一個零點，令t＝2x，則t＞0，即關于t的方程只有一個正實根，令，通過k與1的大小比較，轉化求解k的范圍即可．

（Ⅰ）由題意時，，，

，故．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

，顯然，，解得或，

又且，所以．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下 ，

在上只有一個零點，

令，則，即關于的方程只有一個正實根，

令，

①當時，，滿足條件；

②當時，函數的圖象是開口向上的拋物線，又，

所以方程有一正一負兩根，滿足條件；

③當時，函數的圖象是開口向下的拋物線，又，

時滿足題意，解得，

故實數的取值范圍為或.