Question

若A、B是拋物線y²=4x上的不同兩點，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點P，則稱弦AB是點P的一條“相關弦”；
（I）求點P（4，0）的“相關弦”的中點的橫坐標；
（II）求點P（4，0）的所有“相關弦”的弦長的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用直線的點斜式、線段的垂直平分線、線段的中點坐標公式、斜率的計算公式、拋物線的標準方程即可得出；
（Ⅱ）利用直線的點斜式、線段的垂直平分線、線段的中點坐標公式、斜率的計算公式、拋物線的標準方程、直線與拋物線的方程聯立、根與系數的關系、弦長公式即可得出．

解答：解：（I）設AB為點P（4，0）的任意一條“相關弦”，且點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x2，
弦AB的垂直平分線方程為y-

y1+y2

2

=-

x1-x2

y1-y2

(x-

x1+x2

2

)，
由題意它與x軸相交于點P（4，0），
令y=0⇒4=

y1+y2

2

y1-y2

x1-x2

+

x1+x2

2

，
∴4=

4(x1-x2)

2(x1-x2)

+

x1+x2

2

⇒4=2+

x1+x2

2

⇒

x1+x2

2

=2，
∴點P（4，0）的“相關弦”的中點的橫坐標為2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可設中點為（2，y_m），這里ym=

y1+y2

2

直線AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

y1-y2

y 2 1 4 - y 2 2 4

=

4

y1+y2

=

2

ym

，
∴弦AB所在直線的方程是y-ym=

2

ym

(x-2)⇒y=

2

ym

x+(ym-

4

ym

)，
代入y²=4x中，整理得

4

y 2 m

x2-

16

y 2 m

x+(ym-

4

y   m

)2=0⇒4x2-16x+

y

2 m

(ym-

4

y   m

)2=0（*）
則x₁、x₂是方程（*）的兩個實根，且x₁+x₂=4，x1x2=

y 2 m (ym- 4 y   m )2

4

，
設點P（4，0）的“相關弦”AB的弦長為l，則l2=(x1-x2)2+(y1-y2)2，
∴l2=(1+

4

y 2 m

)(x1-x2)2=(1+

4

y 2 m

)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+

4

y 2 m

)[16-

y

2 m

(ym-

4

y   m

)2]，
∴l2=-

y

4 m

+4

y

2 m

+32=-(

y

2 m

-2)2+36，
∴l_max=6．

點評：本題具有較強的綜合性，用到的知識較多，熟練掌握直線的點斜式、線段的垂直平分線、線段的中點坐標公式、斜率的計算公式、拋物線的標準方程、直線與拋物線的方程聯立、根與系數的關系、弦長公式等內容是解題的關鍵..