Question

（2010•福建模擬）已知函數f(x)=sin2

x

2

+

3

sin

x

2

cos

x

2

-

1

2

．
（Ⅰ）求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）將y=f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位，得到函數y=g（x）（x＞0）的圖象．若的圖象與直線y=

1

2

交點的橫坐標由小到大依次是x₁，x₂，…，x_n，求數列{x_n}的前2n項的和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據二倍角公式以及兩角和的正弦公式對所給函數進行整理得到f（x）=sin（x-

π

6

）；再結合正弦函數的單調性以及整體代入思想即可求出f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）先根據圖象的平移規律得到函數y=g（x）（x＞0）的圖象；再結合正弦曲線的對稱性，周期性求出相鄰兩項的和及其規律，最后結合等差數列的求和公式即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=sin2

x

2

+

3

sin

x

2

cos

x

2

-

1

2

=

1-cosx

2

+

3

2

sinx-

1

2

=

3

2

sinx-

1

2

cosx
=sin（x-

π

6

）．
由2kπ≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，得2kπ-

π

3

≤x≤2kπ+

2π

3

 （k∈Z）
所以f（x）的單調遞增區間是[2kπ-

π

3

，2kπ+

2π

3

]（k∈Z）
（Ⅱ）函數f（x）=sin（x-

π

6

）的圖象向左平移

π

6

個單位后，得到函數y=sinx的圖象，
即g（x）=sinx，
若函數g（x）=sinx（x＞0）的圖象與直線y=

1

2

交點的橫坐標由小到大依次是x₁，x₂，…，x_n，
則由正弦曲線的對稱性，周期性得：

x1+x2

2

=

π

2

，

x3+x4

2

=2π+

π

2

，…，

x2n-1+x2n

2

=2（n-1）π+

π

2

，
所以x₁+x₂+…+x_2n-1+x_2n
=（x₁+x₂）+（x₃+x₄）+…+（x_2n-1+x_2n）
=π+5π+9π+…+（4n-3）π
=[n×1+

n(n-1)

2

×4]•π
=（2n²-n）π

點評：本題是對三角函數單調性，對稱性，周期性以及公式的綜合考查，解決問題的關鍵在于根據二倍角公式以及兩角和的正弦公式對所給函數進行整理得到f（x）=sin（x-

π

6

）．