Question

（2010•福建模擬）考察等式：

C

0 m

C

r n-m

+

C

1 m

C

r-1 n-m

+…+

C

r m

C

0 n-m

=

C

r n

（*），其中n、m、r∈N^*，r≤m＜n且r≤n-m．某同學用概率論方法證明等式（*）如下：
設一批產品共有n件，其中m件是次品，其余為正品．現從中隨機取出r件產品，
記事件A_k={取到的r件產品中恰有k件次品}，則P(Ak)=

C k m C r-k n-m

C r n

，k=0，1，2，…，r．
顯然A₀，A₁，…，A_r為互斥事件，且A₀∪A₁∪…∪A_r=Ω（必然事件），
因此1=P（Ω）=P（A₀）+P（A₁）+…P（A_r）=

C 0 m C r n-m + C 1 m C r-1 n-m +…+ C r m C 0 n-m

C r n

，
所以

C

0 m

C

r n-m

+

C

1 m

C

r-1 n-m

+…+

C

r m

C

0 n-m

=

C

r n

，即等式（*）成立．
對此，有的同學認為上述證明是正確的，體現了偶然性與必然性的統一；但有的同學對上述證明方法的科學性與嚴謹性提出質疑．現有以下四個判斷：
①等式（*）成立  ②等式（*）不成立  ③證明正確  ④證明不正確
試寫出所有正確判斷的序號

①③

．

Answer 1

分析：構造概率模型，從中隨機取出r件產品，記事件A_k={取到的產品中恰有k件次品}，利用古典概型概率公式求得其概率，根據A₀，A₁，…，A_r為互斥事件，且A₀∪A₁∪…∪A_r=Ω（必然事件），即可判斷．

解答：解：設一批產品共有n件，其中m件是次品，其余n-m件為正品．
現從中隨機取出r件產品，記事件A_k={取到的產品中恰有k件次品}，則取到的產品中恰有k件次品共有

C

k m

C

r-k n-m

種情況，又從中隨機取出r件產品，共有

C

r n

種情況，k=0，1，…，r，故其概率為P(Ak)=

C k m C r-k n-m

C r n

，k=0，1，…，r．
∵A₀，A₁，…，A_r為互斥事件，且A₀∪A₁∪…∪A_r=Ω（必然事件），
因此1=P（Ω）=P（A₀）+P（A₁）+…P（A_r）=

C 0 m C r n-m + C 1 m C r-1 n-m +…+ C r m C 0 n-m

C r n

，
所以C_m⁰C_n-m^r+C_m¹C_n-m^r-1+…+C_m^rC_n-m⁰=C_n^r，即等式（*）成立．
從而可知正確的序號為：①③
故答案為：①③

點評：本題以概率為依托，證明組合中的等式問題，解題的關鍵是構造概率模型，利用古典概型的概率公式求概率，題目新穎．