Question

【題目】在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且 = ．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）點D滿足 =2 ，且線段AD=3，求2a+c的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）△ABC中， = ，

∴ = ，

∴ac﹣c2=a2﹣b2，

∴ac=a2+c2﹣b2，

∴cosB= = = ；

又B∈（0，π），

∴B= ；

（Ⅱ）如圖所示，

點D滿足 =2 ，∴BC=CD；

又線段AD=3，

∴AD2=c2+4a2﹣2c2acos =c2+4a2﹣2ac=9，

∴c2+4a2=9+2ac；

又c2+4a2≥2c2a，

∴4ac≤9+2ac，

∴2ac≤9；

∴（2a+c）2=4a2+4ac+c2=9+6ac≤9+3×9=36，

∴2a+c≤6，

即2a+c的最大值為6

【解析】（Ⅰ）由正弦定理和余弦定理，即可求出cosB以及B的值；（Ⅱ）結合題意畫出圖形，根據圖形利用余弦定理和基本不等式，即可求出2a+c的值．
【考點精析】本題主要考查了正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關知識點，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;才能正確解答此題．