Question

設函數f(x)對所有的實數x都滿足f(x+2π)=f(x)，求證：存在4個函數f_i(x)(i=1，2，3，4)滿足：（1）對i=1，2，3，4，f_i(x)是偶函數，且對任意的實數x，有f_i(x+π)=f_i(x)；（2）對任意的實數x，有f(x)=f₁(x)+f₂(x)cosx+f₃(x)sinx+f₄(x)sin2x。

Answer 1

證明略

記，，則f(x)=g(x)+h(x)，且g(x)是偶函數，h(x)是奇函數，對任意的x∈R，g(x+2π)=g(x)，h(x+2π)=h(x)。令，，，
，其中k為任意整數。
容易驗證f_i(x)，i=1，2，3，4是偶函數，且對任意的x∈R，f_i(x+π)=f_i(x)，i=1，2，3，4。下證對任意的x∈R，有f₁(x)+f₂(x)cosx=g(x)。當時，顯然成立；當時，因為，而
，故對任意的x∈R，f₁(x)+f₂(x)cosx=g(x)。
下證對任意的x∈R，有f₃(x)sinx+f₄(x)sin2x=h(x)。當時，顯然成立；當x=kπ時，h(x)=h(kπ)=h(kπ-2kπ)=h(-kπ)=-h(kπ)，所以h(x)=h(kπ)=0，而此時f₃(x)sinx+f₄(x)sin2x=0，故h(x)=f₃(x)sinx+f₄(x)sin2x；當時，
，故，又f₄(x)sin2x=0，從而有h(x)=f₃(x)sinx+f₄(x)sin2x。
于是，對任意的x∈R，有f₃(x)sinx+f₄(x)sin2x=h(x)。綜上所述，結論得證。