Question

已知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a₁+2a₂=1，a₃²=4a₂a₆．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂a_n，求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，通過(guò)解方程組可求得a₁與q，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用錯(cuò)位相減法可求得數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，由

a

2 3

=4a2a6⇒

a

2 3

=4

a

2 4

，所以q2=

1

4

．
由條件可知q＞0，故q=

1

2

．
由a1+2a2=1⇒a1+2a1•q=1⇒a1=

1

2

．
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=a1•qn-1=

1

2n

．
（Ⅱ）bn=log2an=log2(

1

2

)n=-n，故an•bn=-n•(

1

2

)n
從而S_n=a₁•b₁+a₂•b₂+…+a_n-1•b_n-1+a_n•b_n=-[1•

1

2

+2•(

1

2

)2+…+(n-1)•(

1

2

)n-1+n•(

1

2

)n]
故

1

2

Sn=-[1•(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+(n-1)•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1]
兩式相減得

1

2

Sn=-[

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1]=-

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

+n•(

1

2

)n+1=

n+2

2

•(

1

2

)n-

1

2

所以數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和Sn=(n+2)•(

1

2

)n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．