Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

a²x³-ax²+

2

3

，g（x）=-ax+1，其中a＞0．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象有公共點，且在公共點處有相同的切線，試求實數(shù)a的值；
（2）在區(qū)間（0，

1

2

]上至少存在一個實數(shù)x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分別求出f（x）和g（x）的導函數(shù)，設出兩函數(shù)圖象的公共點M的坐標，由兩函數(shù)圖象在公共點處有相同的切線，把M的橫坐標代入兩導函數(shù)中求出的導函數(shù)值相等得到一個關系式，記作①，把M的橫坐標代入兩函數(shù)解析式中得到的函數(shù)值相等，記作②，把①化簡后解出a等于一個關系式，記作③，把②化簡后，記作④，把③代入④消去a得到關于點M橫坐標的方程，求出方程的解即可得到點M橫坐標的值，把橫坐標的值代入③即可求出a的值；
（2）設F（x）=f（x）-g（x），求出導函數(shù)，由x的范圍得到導函數(shù)值大雨0，即F（x）為增函數(shù)，根據(jù)閉區(qū)間x的范圍，求出F（x）的最大值，根據(jù)最大值大于0列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍．

解答：解：（1）設函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象的公共點為M（x₀，y₀），
由題意得：

f′(x0)=g′(x0) f(x0)=g(x0)

，即

a2 x 2 0 -2ax0=-a① 1 3 a2 x 3 0 - ax 2 0 + 2 3 =-ax0+1②

．
由①得a（ax₀²-2x₀+1）=0，
∵a＞0，且x₀≠0，
∴a=

2x0-1

x 2 0

．③
由②得

1

3

a²x₀³-ax₀²+ax₀-

1

3

=0．④
把③代入④，得

1

3

(

2x0-1

x 2 0

)2•

x

3 0

-

2x0-1

x 2 0

 •

x

2 0

+

2x0-1

x 2 0

 •x₀-

1

3

=0，
化簡得x₀²-2x₀+1=0，解得x₀=1．
當x₀=1時，a=

2×1-1

12

=1，
于是，所求實數(shù)a的值為1．
（2）設F（x）=f（x）-g（x）=

1

3

a²x³-ax²+ax-

1

3

（x∈（0，

1

2

]），
對F（x）求導，得F′（x）=a²x²-2ax+a=a²x²+a（1-2x）＞0（a＞0），
∴F（x）在（0，

1

2

]上為增函數(shù)，則F（x）_max=F（

1

2

）．
依題意，只需F（x）_max＞0，即

1

3

a²×

1

8

-a×

1

4

+a×

1

2

-

1

3

＞0，
∴a²+6a-8＞0，解得a＞-3+

17

或a＜-3-

17

（舍去）．
于是，所求實數(shù)a的取值范圍是（-3+

17

，+∞）．

點評：此題考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，會利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值，是一道中檔題．