Question

【題目】已知拋物線：，直線：.

（1）若直線與拋物線相切，求直線的方程；

（2）設(shè)，直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，若存在點(diǎn)，滿足，且線段與互相平分（為原點(diǎn)），求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用即可求解。

（2）由直線與拋物線相交可得：，由（1）可得 ，由線段OC與AB互相平分可得四邊形OACB為平行四邊形，得到C，利用得到，即： =-1，再將 ，代入即可求得，對的范圍分類，利用基本不等式即可得解。

解：（1）法1：由得

所以，所求的切線方程為

法2：因?yàn)橹本�恒過（0，-4），所以由得

設(shè)切點(diǎn)為，由題可得，直線與拋物線在軸下方的圖像相切，

則

所以切線方程為，將坐標(biāo)（0，-4）代入得

即切點(diǎn)為（8，-8），再將該點(diǎn)代入得，

所以，所求的切線方程為

（2）由得

且，

所以，

因?yàn)榫�段OC與AB互相平分，所以四邊形OACB為平行四邊形

，即C

由得，，

法1：所以 =-1

又 ，又

所以 ，所以

法2：因?yàn)?/span>

又

，即