Question

【題目】已知二次函數滿足以下兩個條件：

①不等式的解集是；②函數在上的最小值是3．

（1）求的解析式；

（2）若點（）在函數的圖象上，且．

（i）求證：數列為等比數列；

（ii）令，是否存在正整數，使得取到最小值？若有，請求出的值；若無，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）存在，數列能取到最小值.

【解析】

試題分析：（1）借助題設條件建立方程待定求解；（2）（i）借助題設運用等比數列的定義推證；（ii）借助已知結論運用比較法進行分析探求.

試題解析：

（1）∵的解集為，且是二次函數，

∴可設（），故的對稱軸為直線，

∴在上的最小值為，

∴，所以．

（2）（i）∵點在函數的圖象上，

∴，則 ，

∴，又首項，

∴數列為等比數列，且公比為2．

（ii）由上題可知，∴，

∵，

當或2時，；當時，，

即

所以當時，數列取到最小值．