Question

已知函數(shù)y=

1

x

，
（Ⅰ）證明函數(shù)y=

1

x

在[1，+∞）上是減函數(shù)；
（Ⅱ）求該函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)x₂＞x₁≥1，求得f（x₂）-f（x₁）小于零，可得函數(shù)在[1，+∞）上是減函數(shù)．
（Ⅱ）由于該函數(shù)在區(qū)間[1，4]上是增函數(shù)，從而求得函數(shù)在此閉區(qū)間上的最值．

解答：（Ⅰ）證明：設(shè)x₂＞x₁≥1，
則f（x₂）-f（x₁）=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1•x2

．
根據(jù)題設(shè)可得 x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞0，
∴

x1-x2

x1•x2

＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0，
即f（x₂）＜f（x₁），
∴函數(shù)在[1，+∞）上是減函數(shù)．
（Ⅱ）由于該函數(shù)在區(qū)間[1，4]上是增函數(shù)，
故當x=1時，函數(shù)取得最大值為1，
當x=4時，函數(shù)取得最小值為

1

4

．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大值和最小值．