Question

【題目】已知函數f（x）=ax2+2ax+3-b（a≠0，b＞0）在[0，3]上有最小值2，最大值17，函數g（x）=．

（l）求函數g（x）的解析式；

（2）證明：對任意實數m，都有g（m2+2）≥g（2|m|+l）；

（3）若方程g（|log2x-1|）+3k（-1）=0有四個不同的實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

（1）只需要利用好所給的在區間[0，3]上有最大值4，最小值1，即可列出方程求的兩個未知數；

（2）可判斷g（x）在（0，+∞）上為增函數，又（m2+2）-（2|m|+l）=（|m|-l）2≥0，即可判定；

（3）可直接對方程進行化簡、換元結合函數圖象即可獲得問題的解答．

解：（1）∵f（x）=ax2+2ax+3-b=a（x+1）2+3-a-b，故拋物線的對稱軸為x=-1．

①當a＞0時，拋物線開口向上，∴f（x）在[0，3]上為增函數．

f（x）min=f（0）=3-b=2，f（x）max=f（3）=15a-b+3=17．

∴a=1，b=1

②當a＜0時，拋物線開口向下，f（x）在[0，3]上為減函數．

f（x）min=f（3）=15a-b+3=2，f（x）max=f（0）=3-b=17．

∴a=-1，b=-14．又b＞0，∴a=1，b=1符合題意

∴f（x）=x2+2x+2．g（x）=x-+2．

（2）證明：任取x2＞x1＞0，則g（x2）-g（x1）=（

∵x2-x1＞0，x1x2＞0．∴g（x2）-g（x1）＞0，．

故g（x）在（0，+∞）上為增函數．

又（m2+2）-（2|m|+l）=（|m|-l）2≥0；

∴m2+2≥（2|m|+l）>0．∴g（m2+2）≥g（2|m|+l）．

（3）令t=|log2x-1|，則方程為g（t）+3k（-1）=0，即t-+2+3k（-1）=0

可化為t2+（2-3k）t+3k-2=0（△）．

因為當t>0時，t=|log2x-1|有兩個x,

當t=0時，t=|log2x-1|有一個x，

當t<0時，t=|log2x-1|無解

當原方程有四個不同實數解時，關于t的（△）方程有兩個不相等的正實根．

∴，即∴k＞2．

故實數k的取值范圍為（2，+∞）．