Question

已知函數
（1）若方程內有兩個不等的實根，求實數m的取值范圍；（e為自然對數的底數）
（2）如果函數的圖象與x軸交于兩點、且.求證：（其中正常數）.

Answer 1

（1）（2）

試題分析：（1）方程內有兩個不等的實根，可轉化為函數的圖象與 有兩個不同的交點，可以利用導數研究函數在 上的單調性與極值并結合邊界值來確定實數m的取值范圍；
（2）由函數的圖象與x軸交于兩點、知方程 
有兩根    
因為 ,
所以   
 
 
只需證明：在上恒成立即可.
試題解析：（1）由，
求導數得到：
，故在有唯一的極值點
，且知
故上有兩個不等實根需滿足：

故所求m的取值范圍為.                             （6分）
（2）又有兩個實根
則
兩式相減得到：
于是


，故
要證：，只需證：
只需證：
令，則
只需證明：在上恒成立.
又則
于是由可知.故知
上為增函數，則
從而可知，即（*）式成立，從而原不等式得證.         （14分）