Question

已知對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線有一條漸近線為2x-y=0，則該雙曲線的離心率為

5

或

5

2

．

Answer 1

分析：當(dāng)雙曲線焦點在x軸上時，可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），此時漸近線方程是y=±

b

a

x，與已知條件中的漸近線方程比較可得b=2a，最后用平方關(guān)系可得c=

5

a，用公式可得離心率e=

c

a

=

5

；當(dāng)雙曲線焦點在y軸上時，用類似的方法可得雙曲線的離心率為

5

2

．由此可得正確答案．

解答：解：（1）當(dāng)雙曲線焦點在x軸上時，
設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
∵雙曲線的一條漸近線方程是2x-y=0，
∴雙曲線漸近線方程是y=±

b

a

x，即y=±2x
∴

b

a

=2⇒b=2a
∵c²=a²+b²
∴c=

a2+b2

=

a2 +(2a)2

=

5

a
所以雙曲線的離心率為e=

c

a

=

5

（2）當(dāng)雙曲線焦點在y軸上時，
設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）
采用類似（1）的方法，可得

b

a

=

1

2

⇒b=

1

2

a
∴c=

a2+b2

=c=

a2+( 1 2 a)2

=

5

2

a
所以雙曲線的離心率為e=

c

a

=

5

2

綜上所述，該雙曲線的離心率為

5

或

5

2

故答案為：

5

或

5

2

點評：本題用比較系數(shù)法求雙曲線的離心率的值，著重考查了雙曲線的漸近線和平方關(guān)系等基本概念和雙曲線的簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．