Question

已知動圓P與圓相切，且經過點．
（1）試求動圓的圓心P的軌跡C的方程；
（2）設O為坐標原點，圓D：（x-t）²+y²=t²（t＞0），若圓D與曲線C交于關于x軸對稱的兩點A、B（點A的縱坐標大于0），且，請求出實數t的值；
（3）在（2）的條件下，點D是圓D的圓心，E、F是圓D上的兩動點，滿足，點T是曲線C上的動點，試求的最小值．

Answer 1

解：（1）設動圓P的圓心坐標為P（x，y），
則由題意知：點N在圓M內，故圓M，P相內切，
∴|PM|=4-|PN|?|PM|+|PN|=4|MN|=＜4，
所以，動圓圓心P的軌跡是以M、N為焦點，長軸長為4的橢圓；
所以，動點P的軌跡方程為，．
（2）：∴OA⊥OB，由對稱性知，∠AOD=∠BOD=45°，
所以，直線OA的斜率k_OA=1，直線OA的方程為y=x，
由，得A（1，1）；
又點A在圓D：（x-t）²+y²=t²（t＞0）上，
∴（1-t）²+1=t²，解得t=1．
（3）：由知，D是線段EF的中點，
不妨設E（x₁，y₁），由（2）知，D（1，0）∴F（2-x₁，-y₁）
設T（x₀，y₀），
則=（x₁-x₀，y₁-y₀）•（2-x₁-x₀，-y₁-y₀）
=（x₁-x₀）（2-x₁-x₀）+（y₁-y₀）（-y₁-y₀）
=2（x₁-x₀）-（x₁²-x₀²）+（y₀²-y₁²）
=-x₁²+2x₁-y₁²+x₀²+y₀²-2x₀
=-[（x₁-1）²+y₁²]+1+x₀²+y₀²-2x₀
=x₀²-2x₀+（1-）
=-；
由-2≤x₀≤2知，當x₀=時，的最小值為-；
分析：（1）先由點N在圓M內，得圓M，P相內切；有|PM|=4-|PN|?|PM|+|PN|=4|MN|=＜4，可得動圓圓心P的軌跡是以M、N為焦點，長軸長為4的橢圓；即可求出動圓的圓心P的軌跡C的方程；
（2）：可得OA⊥OB，再由對稱性知，∠AOD=∠BOD=45°，可以求得直線OA的方程為y=x，與橢圓方程聯立可以求得點A的坐標；再利用點A在圓D代入即可求出實數t的值；
（3）先由知，D是線段EF的中點，設出各點坐標，代入整理為一元二次函數，利用一元二次函數在固定區間上的最值求法即可求的最小值．
點評：本題主要考查向量在幾何中的應用以及軌跡方程．第一問中的關鍵在于分析出圓M，P相內切；有|PM|=4-|PN|?|PM|+|PN|=4|MN|=＜4，進而得到動圓圓心P的軌跡是以M、N為焦點，長軸長為4的橢圓．