Question

已知動圓P與圓M：（x+1）²+y²=16相切，且經過M內的定點N（1，0）．
（1）試求動圓的圓心P的軌跡C的方程；
（2）設O是軌跡C上的任意一點（軌跡C與x軸的交點除外），試問在x軸上是否存在兩定點A，B，使得直線OA與OB的斜率之積為定值（常數）？若存在，請求出定值，并求出所有滿足條件的定點A、B的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意，兩圓相內切，故，|PM|=4-|PN|，即|PM|+|PN|=4．
又∵MN=2＜4
∴動圓的圓心P的軌跡為以M、N為焦點，長軸長為4的橢圓．
動點P的軌跡方程為．
（2）設點Q（x₀，y₀），則，x₀≠±2
設A（s，0），B（t，0），k_QA•k_QB=k（常數）
∴k_QA•k_QB=
整理得（4k+3）x₀²-4k（s+t）x₀+4（kst-3）=0
由題意，上面的方程對（-2，2）內的一切x₀均成立
∴4k+3=0，-4k（s+t）=0且4（kst-3）=0
解得k=-，s=2，t=-2，或s=-2，t=2
∴在x軸上只存在兩定點A（2，0）、B（-2，0）使得直線QA與QB的斜率之積為定值-．
分析：（1）利用動圓P與定圓（x-1）²+y²=16相內切，以及橢圓的定義，可得動圓圓心P的軌跡M的方程；
（2）先設任意一點以及A、B的坐標，k_QA•k_QB=k（常數），根據軌跡方程列出關于k、s、t的方程，并求出k、s、t的值，即可求出結果．
點評：題考查圓的基本知識和軌跡方程的求法以及斜率的求法，解題時要注意公式的靈活運用，此題有一定難度．