Question

【題目】已知數列{an}滿足：對于任意n∈N*且n≥2時，an+λan﹣1=2n+1，a1=4．
（1）若 ，求證：{an﹣3n}為等比數列；
（2）若λ=﹣1．①求數列{an}的通項公式； ②是否存在k∈N*，使得 +25為數列{an}中的項？若存在，求出所有滿足條件的k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明： ，n≥2時，an﹣ an﹣1=2n+1，化為：an﹣3n= [an﹣1﹣3（n﹣1）]，

∴數列{an﹣3n}為等比數列，首項為1，公比為

（2）解：①λ=﹣1時，n≥2時，an﹣an﹣1=2n+1，a1=4．

∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=（2n+1）+（2n﹣1）+…+（2×2+1）+4

= +1=n2+2n+1=（n+1）2．

②假設存在存在k∈N*，使得 +25為數列{an}中的第n項，則 +25=（n+1）2，

則（2k+1）×（2k+2）+25=（n+1）2，

由于左邊是奇數，因此n必然為偶數．

又（2k+1）×（2k+2）=（n+6）（n﹣4），

∴（4k+2）×（k+1）=（n+6）（n﹣4），

因此k必然為奇數，若 ，解得k=3，n=8．

只能有一解

【解析】（1） ，n≥2時，an﹣ an﹣1=2n+1，化為：an﹣3n= [an﹣1﹣3（n﹣1）]，即可證明．（2）①λ=﹣1時，n≥2時，an﹣an﹣1=2n+1，a1=4．利用累加求和即可得出．②假設存在存在k∈N*，使得 +25為數列{an}中的第n項，可得 +25=（n+1）2，可得（2k+1）×（2k+2）+25=（n+1）2，由于左邊是奇數，因此n必然為偶數．又（2k+1）×（2k+2）=（n+6）（n﹣4），可得（4k+2）×（k+1）=（n+6）（n﹣4），因此k必然為奇數，只有可能 ，解出即可得出．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．