Question

【題目】一矩形的一邊在軸上，另兩個頂點在函數的圖像上，如圖，則此矩形繞軸旋轉而成的幾何體的體積的最大值是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

用表示圓柱的體積可得，由基本不等式可求其最大值，從而得到正確的選項.

因為當且僅當時取等號，所以.

因為矩形繞軸旋轉一周旋轉得到一個圓柱，

設點的坐標為，點的坐標為，

則圓柱的底面圓的半徑為，高為，

因為，即，

所以，所以，

所以，

所以圓柱得體積為，

當且僅當時取等號，

所以矩形繞軸旋轉而成的幾何體的體積的最大值是，

故選：A．

【點晴】

本題主要考查了空間幾何體的體積的計算、基本不等式的應用，解答的關鍵確定的值，屬于中檔試題，同時著重考查了轉化與化歸的思想方法及數形結合的思想方法的應用，本題的解答中先求出的范圍，再設出點的坐標，根據兩點的縱坐標相等得到，再求出高，根據圖形旋轉得到一個圓柱，根據圓柱的體積公式得到關系式，利用基本不等式求最值．