Question

已知關(guān)于x的方程x²+（2+a）x+1+a+b=0的兩根為x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂，則

2a+3b

3a

的取值范圍是（　　）

• A．(-

  4

  3

  ，0)
• B．(-2，-

  2

  3

  )
• C．（0，+∞）
• D．(-

  2

  3

  ，+∞)

Answer 1

分析：由方程x²+（2+a）x+1+a+b=0的兩根滿(mǎn)足0＜x₁＜1＜x₂，結(jié)合對(duì)應(yīng)二次函數(shù)性質(zhì)得到

f(0)＞0 f(1)＜0

，然后在平面直角坐標(biāo)系中，做出滿(mǎn)足條件的可行域，分析

b

a

的幾何意義，然后數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論，從而可求

2a+3b

3a

的取值范圍．

解答：解：由程x²+（2+a）x+1+a+b=0的二次項(xiàng)系數(shù)為1＞0，
故函數(shù)f（x）=x²+（2+a）x+1+a+b圖象開(kāi)口方向朝上
又∵方程x²+（2+a）x+1+a+b=0的兩根滿(mǎn)足0＜x₁＜1＜x₂，
則

f(0)＞0 f(1)＜0

即

1+a+b＞0 1+2+a+1+a+b＜0

即

1+a+b＞0 4+2a+b＜0

其對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如下圖陰影示：

∵

b

a

表示陰影區(qū)域上一點(diǎn)與原點(diǎn)邊線(xiàn)的斜率
由圖可知

b

a

∈(-2，-

2

3

)
∵

2a+3b

3a

=

2

3

+

b

a

∴

2a+3b

3a

∈(-

4

3

，0)
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，三個(gè)二次之間的關(guān)系，線(xiàn)性規(guī)劃，其中由方程x²+（2+a）x+1+a+b=0的兩根滿(mǎn)足0＜x₁＜1＜x₂，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得到

f(0)＞0 f(1)＜0

是解答本題的關(guān)鍵．