Question

已知二面角α-AB-β為120°，AC?α，BD?β，且AC⊥AB，BD⊥AB，AB=AC=BD=a，則CD的長為

 

．

Answer 1

分析：由題，在平面β中可過A作AB的垂線，過D作BD的垂線，兩者交于E連接CE，可證得CE垂直于DE，在直角三角形EBC中用勾股定理求出CD的長度，得到答案

解答：解：由題意，作出如圖的圖象，在平面β中可過A作AB的垂線，過D作BD的垂線，兩者交于E連接CE，
由作圖知，四邊形ABDE是矩形，故有DE=AB=a，AE=BD=a，AE⊥AB
又AC⊥AB，易得AB⊥面ACE，即有CE⊥AB，進而得CE⊥DE
有二面角的平面角的定義知，∠CAE=120°
在△CAE中，由余弦定義可得CE²=a²+a²-2×a²×（-

1

2

）=3a²，故CE=

3

a
在直角三角形CED中，由勾股定理得CD²=DE²+CE²=a²+3a²=4a²，
可得CD的長為2a
故答案為：2a．

點評：本題考查與二面角的平面角及求法解題的關鍵是作出二面角的平面角，在三角形中求出二面角的大小，其作題步驟為：作角，證角，求角．