Question

如圖，已知二面角α-AB-β的大小為120°，PC⊥α于C，PD⊥β于D，且PC=2，PD=3．
（1）求異面直線AB與CD所成角的大小；
（2）求點P到直線AB的距離．

Answer 1

分析：（1）根據題意，證出AB⊥平面PCD，從而得到AB⊥CD，即得異面直線AB與CD所成角的大小為90°．
（2）設平面ACD與直線AB交于點E，連結CE，DE，PE．證出∠CED為二面角α-AB-β的平面角，從而∠CED=120°．然后在四邊形PCDE中利用余弦定理解三角形，算出CD=

7

，進而得到PE=

CD

sin60°

=

2

3

21

，得到P到直線AB的距離．

解答：解：（1）∵PC⊥α于C，PD⊥β于D．
∴PC⊥AB，PD⊥AB．又PC∩PD=D．
∴AB⊥平面PCD．
∵CD?平面PCD，∴AB⊥CD，
即異面直線AB與CD所成角的大小為90°．        …（6分）
（2）設平面ACD與直線AB交于點E，連結CE，DE，PE
由（1）可知，AB⊥平面PCD．
∴AB⊥CE，AB⊥DE，AB⊥PE．
∴∠CED為二面角α-AB-β的平面角，…（8分）
從而∠CED=120°．
∵PC⊥α，PD⊥β．∴PC⊥CE，PD⊥DE．
∴∠CPD=60°．又PC=2，PD=3．
∴由余弦定理，得CD²=4+9-12cos60°=7，從而CD=

7

．…（10分）
∵PE為四邊形PCED的外接圓直徑．
∴由正弦定理，得PE=

CD

sin60°

=

2

3

21

．
即點P到直線AB的距離等于

2

3

21

．    …（12分）

點評：本題在120度的二面角中，求異面直線所成角和點P到直線AB的距離，著重考查了線面垂直的判定與性質、二面角的平面角定義和正余弦定理等知識，屬于中檔題．