Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若acos²＋ccos²＝b.
(1)求證：a，b，c成等差數列；
(2)若∠B＝60°，b＝4，求△ABC的面積．

Answer 1

（1）見解析（2）4

(1)acos²＋ccos²＝a·＋c·＝b，
即a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝3b.由正弦定理得：
sin A＋sin Acos C＋sin C＋cos Asin C＝3sin B，
即sin A＋sin C＋sin(A＋C)＝3sin B，∴sin A＋sin C＝2sin B.
由正弦定理得，a＋c＝2b，故a，b，c成等差數列．
(2)由∠B＝60°，b＝4及余弦定理得：4²＝a²＋c²－2accos 60°，
∴(a＋c)²－3ac＝16，
又由(1)知a＋c＝2b，代入上式得4b²－3ac＝16，解得ac＝16，
∴△ABC的面積S＝acsin B＝acsin 60°＝4.