Question

設雙曲線C：=1（a＞0）與直線l：x+y=1相交于兩個不同的點A、B．
（I）求雙曲線C的離心率e的取值范圍：
（II）設直線l與y軸的交點為P，且．求a的值．

Answer 1

解：（I）由C與l相交于兩個不同的點，故知方程組
有兩個不同的實數解．消去y并整理得
（1-a²）x²+2a²x-2a²=0．①
所以
解得0＜a＜且a≠1．
雙曲線的離心率
．
∵且a≠1，
∴且
即離心率e的取值范圍為．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（0，1）
∵，
∴．
由此得．
由于x₁和x₂都是方程①的根，且1-a²≠0，
所以．
x₁•x₂=．
消去x₂，得
由a＞0，所以a=．
分析：（I）把直線與雙曲線方程聯立消去y，利用判別式大于0和方程二次項系數不等于0求得a的范圍，進而利用a和c的關系，用a表示出離心率，根據a的范圍確定離心率的范圍．
（II）設出A，B，P的坐標，根據求得x₁和x₂的關系式，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，聯立方程求得a．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關系．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．