Question

棱長為1的正四面體內切球的表面積為（　　）

A． π 6

B． π 4

C． 3 2 π

D． π 3

Answer 1

設正四面體S-ABCD如圖所示，
可得它的內切球的球心0必定在高線SH上
延長AH交BC于點D，則D為BC的中點，連結SD則內切球切SD于點E，連結AO
∵H是正三角形ABC的中心
∴AH：HD=2：1
∵Rt△0AH∽Rt△DSH
∴

OA

OH

=

DS

DH

=3，可得OA=30H=S0
因此，SH=4OH，可得內切球的半徑OH=

1

4

SH
∵正四面體棱長為1
∴Rt△SHD中，SD=

3

2

，HD=

1

3

SD=

3

6

可得SH=

SD2-HD2

=

6

3

，得內切球的半徑r=OH=

1

4

×

6

3

=

6

12

因此正四面體內切球的表面積為S=4πr²=

π

6

故選：A