Question

【題目】如圖，長(zhǎng)方體的底面是正方形，點(diǎn)在棱上，.

（1）證明：平面；

（2）若，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）根據(jù)長(zhǎng)方體性質(zhì)可知平面，從而，由題意，即可由線面垂直的判定定理證明平面；

（2）由題意，設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，即可寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求得平面和平面的法向量，即可由兩個(gè)平面的法向量求得二面角夾角的余弦值，再由同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求得二面角的正弦值.

（1）由已知得，平面，平面，

故.

又，且，

所以平面.

（2）由（1）知.由題設(shè)知，所以，

故，. 設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

則，，，，，，.

設(shè)平面的法向量為，則即.

所以可取.

設(shè)平面的法向量為，則即

所以可取.

于是.

由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得二面角的正弦值為.