Question

矩形ABCD(AB≤BC)中,AC=2,沿對角線AC把它折成直二面角B－AC－D后,BD=,求AB、BC的長.
 
翰林匯

Answer 1

翰林匯AB＝，BC＝

如圖，
 
分別過B、D作BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
設∠BAC＝θ，則AB＝ACcosθ＝2cosθ，
BE＝DE＝ABsinθ＝sin2θ,
AE＝ABcosθ＝2cos²θ∴EF＝AC－2AE
＝2＝－2cos2θ
折疊后，在平面ACD內過E作EG∥FD,且EG=FD,連接DG、BG、BD，則∠BEG為二面角B－AC－D的平面角，∴∠BEG＝90°
于是BG＝BE＝sin2θ＝2sin2θ
∴BG²＋DG²＝BD²，即：（2sin2θ）²＋（－2cos2θ）²＝5
∴4（cos2θ）²＝1,∴cos2θ＝±，
∵AB≤BC，∴cos2θ＝－∴cosθ＝，
故AB＝，BC＝